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标 题: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
发信站: 水木社区 (Sun May 3 21:31:44 2026)
来 源: 120.245.106.254
【以下内容由 sortie 转寄于 PreUnivEdu 版】
标 题: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
发信站: 水木社区 (Sun May 3 21:31:44 2026)
来 源: 120.245.106.254
【以下内容由 sortie 转寄于 PreUnivEdu 版】
娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
B站有很多解释，挑自己喜欢的看
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
这个就是数学思维难点，鸡兔同笼二元一次方程这种小孩大了就自然会了。这个极限微积分的数学思维大多人大学研究生都不会。所以鸡兔同笼这种小奥题目没有什么价值，再也不会出现在考试选拔上面，而这个就是数学学习的坎之一。比如我小孩三年级也搞不定鸡兔同笼，但是他那时能理解0.999无穷等于1，理解芝诺乌龟悖论，很快就会理解微分积分概念了。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
无穷和极限是两个概念，我们经常把无穷和极限联系在一起，但是在讲的时候这两个概念要分开阐述，否则就会让听的人一脑浆糊。无穷是一个趋势，极限是一个精确值。具体的定义可以参考高数中的定义，这样听的人会比较清晰。
你没学过高数吗
你就用epsilon delta语言的逻辑给小孩讲，小孩也能理解个大概，至少是能记住。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？
老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
无穷的概念，我5岁时就被我家学渣哥讲明白了。
这事有啥好讲的？不理解就是不理解，能理解立马就理解了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
嗯，这个建议好。
确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
对于极限问题，问题出在等号的定义上
0.99999循环等于1，1.0000也等于1。而0.9999和1.0000又明显不相等，会出现类似芝诺悖论的效果。
虽然确实有些简单方法在数学上证明0.99循环等于1，但很难消除这个悖论的迷惑。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 无穷和极限是两个概念，我们经常把无穷和极限联系在一起，但是在讲的时候这两个概念要分开阐述，否则就会让听的人一脑浆糊。无穷是一个趋势，极限是一个精确值。具体的定义可以参考高数中的定义，这样听的人会比较清...
引入德尔塔西姆龙
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。
: 确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
: 对于极限问题，问题出在等号的定义上
: 0.99999循环等于1，1.0000也等于1。而0.9999和1.0000又明显不相等，会出现类似芝诺悖论的效果。
: 虽然确实有些简单方法在数学上证明0.99循环等于1，但很难消除这个悖论的迷惑。
我看到网上有人重新定义了0.9循环，认为数学上0.9循环的写法指的是一种新定义，定义了0.9循环这一过程的极限结果，所以两者可以相等，感觉说的通。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: 所以，按照...
不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之间，假定这个数字是a，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
我大学的时候才学微积分，给初一娃灌输微积分的概念有些太超前。
此外，小孩难理解的是0.9循环过程中的任意一个具体的数0.999999都比1小，为啥最后是相等的。
根据板友的建议，引入极限的概念，加上使用0.99循环新定义到它的极限，则完美解释清楚。
【 在 Hakintosh 的大作中提到: 】
: 你没学过高数吗
: 你就用epsilondelta语言的逻辑给小孩讲，小孩也能理解个大概，至少是能记住。
: 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自...
个人选择不讲，不干扰孩子进程
科普型的“懂”和孩子在高数意义上懂
不一样
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
不用这么复杂，只需要告诉他只要两个数中间不能插入其他数，就说明两个数相等这么一个简单的逻辑就行了。然后他会去试着找0.999...和1中间的数，然后你就可以自然而然地引入epsilon
delta逻辑了。我这样讲给我上幼儿园的女儿她都能懂个大概。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我大学的时候才学微积分，给初一娃灌输微积分的概念有些太超前。
: 此外，小孩难理解的是0.9循环过程中的任意一个具体的数0.999999都比1小，为啥最后是相等的。
: 根据板友的建议，引入极限的概念，加上使用0.99循环新定义到它的极限，则完美解释清楚。
如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
关于三分之一等于0.3的循环，这个是小学生的证明方法，很不严谨，这就跟鸡生蛋蛋生鸡自证一样，首先得先证明1/3就等于0.3的循环，这比证明0.9的循环等于1都难。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
: 比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
如果连1/3=0.3的循环都理解不了，那么就不用学了。
小学中学都不会去证明1/3=0.3的循环。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 关于三分之一等于0.3的循环，这个是小学生的证明方法，很不严谨，这就跟鸡生蛋蛋生鸡自证一样，首先得先证明1/3就等于0.3的循环，这比证明0.9的循环等于1都难。
如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果连1/3=0.3的循环都理解不了，那么就不用学了。
: 小学中学都不会去证明1/3=0.3的循环。
1/3等于0.3的循环和0.9的循环等于1一样，都是普通人的认知，之所以大部分人不能理解，或者更准确的说不认为0.9的循环等于1，是因为从小教学中没有将0.9的循环等于1纳入低年级教学体系，而1/3等于0.3的循环都接受，也是受教育的结果，只是知道并不道为什么，以上两个都是同一个问题的两张皮而已。正如费曼所说人为什么会在冰面上容易滑倒，大部分人都将冰面很滑作为原因解释，但是这不应该是原理，冰面为什么很滑？因为压力导致冰在接触面出现极少量的融化，接着又会问为什么其他固体压力下不能融化，因为水在结冰后体积会增加，所以容易被压缩，那么为什么水结冰体积会增加，因为液态水有氢离子和氢氧离子作用，分子间作用力更紧密，结冰形成晶体，晶体分子排列规则破坏了液态水的结构体积膨胀。原理和现象是两个维度，用现象解释另一种现象是不严谨的。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果连1/3=0.3的循环都理解不了，那么就不用学了。
: 小学中学都不会去证明1/3=0.3的循环。
用1除以1得0.9的循环 挺好的， 我觉得这个就应该是小学学得。
因为0.3333 就是1/3 搞出来的。
抖机灵的 3*.0.3333=0.9999 这个要告诉学生，这是很不严谨的。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
为啥明显不相等？
1/9=0.1111… 列个除法竖式就解出来了
微积分和基础代数是相通的 每个点都能用低级知识理解 就严谨性差一点罢了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。对于极限问题，问题出在等号的定义上0.9 ...
我猜你现在应该也还不懂哈
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
0.99999...就是一种极限的表示方法
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
极限即边界，理解这句话，就知道为什么了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
怪不得给小孩讲不清楚，原来你这智商从小学时就被按在天花板下了。到现在了还理解不了0.9循环等于1还能扯到数学严谨性上的，语文大概率也不怎么样，这辈子就这样了。把需要用到智商的地方都交给老师吧
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。
: 确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
: 对于极限问题，问题出在等号的定义上
我小学有个好数学老师，专门去图书馆找书给我讲明白了。
判断两个（小）数是否相等，每位相等是充分条件，不是必要条件。必要条件（也是充要条件）是化为分数后相等。
不需要极限什么的，用到大学一点问题都没有。
你和老师的分歧可能是他说对了，但你不接受这种数学界通行的理念，非要自己来一套无用的理论。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
无限循环只能在小数的结尾，不能放在小数中间。
0.00000…1是不存在的
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
赞，这个好
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之间，假定这个数字是a，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
哎！你还不如探究一下等号有几个含义，科学的尽头是哲学
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
无穷就是个数学假定。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
你这脑回路就不要学数学了吧
1=0.9的循环是要证明的题目
1/3=0.3的循环，这个是能够轻松理解的，而且学分数得时候肯定教，如果这都理解不了，直接辍学吧。
1/1=0.9的循环，是需要1/1=1/3*3=0.3的循环*3=0.9的循环这个过程来证明的
你用1=0.9的循环来证明1=0.9的循环？你都是直接把是要证明的题目，直接在答题卡上抄一遍，然后质问出题老师出题问题的吗？
那你也辍学吧。
1=0.9的循环还有无数种证法，但是从来没有一种是把题目再抄一遍就自证了的。
0.9的循环*2=1.9的循环=1+0.9的循环，两边剪掉一个0.9的循环，得证0.9得循环=1
自己好好去研究研究自己得数学思路吧。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
中间没有数就可以认为相等，比较好理解
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
买本书，从一到无穷大
另外，孺子可教，以后数学差不了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
能不能理解
任何a,0<a<1 一定存在有限的数n使得0.1^(n+1) < a
< 0.1^n
或者任何a,0.9<a<1，一定存在有限的n，使得a在两个数之间，这两个数都是0.9999...并且9的个数是 n和n+1
能理解这个用反证法就行了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
估计你是没仔细看我回帖，或者就没理解我回帖的内涵。
大白话就是说：你不能用同一种现象说明这个现象的原理。
你得到1/3=0.3的循环无非就是用除法不停地余1，而1/1何尝不能用除法不停地上9余1呢，说了这是不严谨的，你的除法只能列到有限个，后面无限个是大脑想象应该是这样下去的，你怎么知道0.3的循环和1/3之间不存在其他数呢，但是这个想象需要证明成立的，这下一步的证明才是原理，这需要严谨的证明。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 你这脑回路就不要学数学了吧
: 1=0.9的循环是要证明的题目
: 1/3=0.3的循环，这个是能够轻松理解的，而且学分数得时候肯定教，如果这都理解不了，直接辍学吧。
试试反证法
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
先得自己搞明白吧
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
别这么说，在历史上本来就是个幽灵
【 在 MVPRose 的大作中提到: 】
: 怪不得给小孩讲不清楚，原来你这智商从小学时就被按在天花板下了。到现在了还理解不了0.9循环等于1还能扯到数学严谨性上的，语文大概率也不怎么样，这辈子就这样了。把需要用到智商的地方都交给老师吧
这个是现代数学的解释，小学生没有建立严格的体系之前，看不懂
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之
: 洌俣ㄕ飧鍪质莂，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
反证法
if 0.999...<1
则存在一个正的小量0.00000...1<epsilon<1-0.99999...
最左边的小数的0的位数为有限位。不等式同时减去0.0000...1
0<epsilon-0.00000...1<1-(0.99999...+0.0000...1)
最右边为一个负数
0小于一个负数
命题不成立。
0.9999...只能等于1
初高中的这些题没什么用，就是用来练习思维的，练练就好了，别当真
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
1/3 x 3 = 1
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
理工科毕业不应该问这个问题啊，极限和无穷还是有区别的
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
:娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。:记得我小学六年级，有一道0.999999
你这个是爱思考的娃
我的印象中，到高中才学了一点极限和无穷小？
是不是先给他讲极限，然后引出无穷小。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
估计版本学得是中文，应该直接看英文，就知道真实含义了
【 在 yao111 的大作中提到: 】
: 理工科毕业不应该问这个问题啊，极限和无穷还是有区别的
: :娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。:记得我小学六年级，有一道0.999999
用1/3还不如用
“10×0.9循= 9+0.9循，得0.9循=1”
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 关于三分之一等于0.3的循环，这个是小学生的证明方法，很不严谨，这就跟鸡生蛋蛋生鸡自证一样，首先得先证明1/3就等于0.3的循环，这比证明0.9的循环等于1都难。
: 【 在 drifter777 的大作中提到: 】
我娃没用讲，自己就理解了，而且我觉得他是真的理解了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
那0.3333333...是不是也是一种极限的表示方式啊？
【 在 pingpong 的大作中提到: 】
: 标 题: Re: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
: 发信站: 水木社区 (Mon Apr 1 00:36:03 2024), 站内
: 0.99999...就是一种极限的表示方法
: 【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: : 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: : 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: : 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 39.171.200.*]
这个方法看上去不错，不幸的是，它在小学和初中可以接受; 但到了高中和大学，这个证明过程就是错误的。
【 在 Carlito 的大作中提到: 】
: 用1/3还不如用
: “10×0.9循=9+0.9循，得0.9循=1”
你这个理论只适合有理数？无理数怎么办
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 我小学有个好数学老师，专门去图书馆找书给我讲明白了。
: 判断两个（小）数是否相等，每位相等是充分条件，不是必要条件。必要条件（也是充要条件）是化为分数后相等。
: 不需要极限什么的，用到大学一点问题都没有。
: 你和老师的分歧可能是他说对了，但你不接受这种数学界通行的理念，非要自己来一套无用的理论。
1～2之间无穷个数，1～3之间也是无穷个数，怎么解释1～2之间的数比1～3之间的数少？
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
在实数范围内这么讲，如果是整数范围却又明显不成立，是不是有点小矛盾， 8 和9 之间插入不了任何整数，那么按照整数的理解 8 和9相等。
我只是好奇大家这么讨论是不是默认虚数。
另外可不可以定义0.99（无穷循环）8 ，也即0.99*8 这样一个数
【 在 Hakintosh 的大作中提到: 】
: 不用这么复杂，只需要告诉他只要两个数中间不能插入其他数，就说明两个数相等这么一个简单的逻辑就行了。然后他会去试着找0.999...和1中间的数，然后你就可以自然而然地引入epsilon
: delta逻辑了。我这样讲给我上幼儿园的女儿她都能懂个大概。
离散型和连续型的区别，没有矛盾。
虚数
【 在 funme 的大作中提到: 】
: 在实数范围内这么讲，如果是整数范围却又明显不成立，是不是有点小矛盾， 8 和9 之间插入不了任何整数，那么按照整数的理解 8 和9相等。
: 我只是好奇大家这么讨论是不是默认虚数。
: 另外可不可以定义0.99（无穷循环）8 ，也即0.99*8 这样一个数
1/（1-0.9999……）
怎么理解
【 在 pingpong 的大作中提到: 】
: 极限即边界，理解这句话，就知道为什么了
少吗？好像并不少啊。
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
1～2之间无穷个数，1～3之间也是无穷个数，怎么解释1～2之间的数比1～3之间的数少？
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
首先要从语义理解，再推导到数学概念。语义上无穷就是无尽，没有尽头，也就是永远的意思。生活中永远是存在的，最简单的就是死亡。生物死亡，需要永远的时间才能复活。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
正解，估计要理解这个德尔塔爱普西陇语言
每个长时间的熏陶是搞不懂的
本科数学学这个数学分析的时候，花了好久好久才理解
刚开始一直没搞懂为什么要弄这么复杂的一套逻辑来定义极限
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 标 题: Re: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
: 发信站: 水木社区 (Sun Mar 31 14:08:35 2024), 站内
: 引入德尔塔西姆龙
: 【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
: yinhe2007，yinhe896，ye，H.S.CRYZER，KORBEL，ADOLESCEN.
: 729*2,狂2，天罡，tnt，cj8000，837+0.8mm,狂三，563套。
: moto c200，nokia 7260，nokia 7650.
: 晶普，纽曼 570，fg100*2.
: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 211.143.51.*]
看来你娃未来有希望哦
搞数学专业出身的人
【 在 Hakintosh 的大作中提到: 】
: 标 题: Re:undefined
: 发信站: 水木社区 (Sun Mar 31 18:42:50 2024), 站内
: 不用这么复杂，只需要告诉他只要两个数中间不能插入其他数，就说明两个数相等这么一个简单的逻辑就行了。然后他会去试着找0.999...和1中间的数，然后你就可以自然而然地引入epsilon
: delta逻辑了。我这样讲给我上幼儿园的女儿她都能懂个大概。
: 【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: : 我大学的时候才学微积分，给初一娃灌输微积分的概念有些太超前。
: : 此外，小孩难理解的是0.9循环过程中的任意一个具体的数0.999999都比1小，为啥最后是相等的。
: : 根据板友的建议，引入极限的概念，加上使用0.99循环新定义到它的极限，则完美解释清楚。
: ※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 223.104.25.*]
0.9循环如果是一个数的话，我理解他的定义就是1。一个数应该在数轴上有一个确定的位置。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
问题在于，你为什么要让一个初中的小孩子，去理解无穷的概念？
请记住一条，有很多道理，是大脑神经成熟之后，会自然就理解的，不需要去强行拔高。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
不少吗？少了了2~3之间那无穷个的数
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 少吗？好像并不少啊。
: 1～2之间无穷个数，1～3之间也是无穷个数，怎么解释1～2之间的数比1～3之间的数少？
无穷集合元素对比有一套方法的，找到一对一映射方法就可以认为是相等。所以存在局
部数量可以等于整体的说法。
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
不少吗？少了了2~3之间那无穷个的数
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 少吗？好像并不少啊。
: 1～2之间无穷个数，1～3之间也是无穷个数，怎么解释1～2之间的数比1～3之间的数少？
娃自己问的呀，给个回答，至少也得娃觉得有道理吧。
这种问题，娃不问，最好不要启发她。如果往高了整，第一娃不懂，第二我可能也不懂。
此外，无限或者无穷，不是自然而然就能理解的。
【 在 masterlv 的大作中提到: 】
: 问题在于，你为什么要让一个初中的小孩子，去理解无穷的概念？
: 请记住一条，有很多道理，是大脑神经成熟之后，会自然就理解的，不需要去强行拔高。
我觉得0.9的循环和1从概念上讲不一样，但是从数值上来讲由于差别是无穷小，所以在应用上没有任何问题。
但是硬说是相等，我觉得不严格，1/3和0.3333....在概念上也不同
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。
: 确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
: 对于极限问题，问题出在等号的定义上
讲到集合，(1,2)真包含于(1,3)。高中阶段，从理论上证明了区间（1,3）之间的数比区间（1,2）之间多。
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 无穷集合元素对比有一套方法的，找到一对一映射方法就可以认为是相等。所以存在局
: 部数量可以等于整体的说法。
自己问，那就得答复。
其实吧，你答复不了，可以网上找我啊，这就体现出人脉的重要性了。哈哈。
思维开阔，认知要能打开，说不定自己苦思冥想不通的，跟人几句话交流，就能茅塞顿开的。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃自己问的呀，给个回答，至少也得娃觉得有道理吧。
: 这种问题，娃不问，最好不要启发她。如果往高了整，第一娃不懂，第二我可能也不懂。
: 此外，无限或者无穷，不是自然而然就能理解的。
看不懂
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
讲到集合，(1,2)真包含于(1,3)。高中阶段，从理论上证明了区间（1,3）之间的数比区间（1,2）之间多。
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 无穷集合元素对比有一套方法的，找到一对一映射方法就可以认为是相等。所以存在局
: 部数量可以等于整体的说法。
越往高处学习，会发现越是近似，反而中小学那些才是完美理想化的。
到实际应用上绝大部分都是近似，数值模拟也是用的步长积分，用有限个近似无限个。
【 在 flowkiss 的大作中提到: 】
: 我觉得0.9的循环和1从概念上讲不一样，但是从数值上来讲由于差别是无穷小，所以在应用上没有任何问题。
: 但是硬说是相等，我觉得不严格，1/3和0.3333....在概念上也不同
0.9的无穷和1确实相等。
我可以试着给你解释一下。
你认为1/3这个数是个什么数。
比方说有一块蛋糕，或者一根棍子
要把它分成三等份
你能正好切到1/3上吗
这是不可能的。
所以这时候1/3它就是一个数学概念。
那么1/3用小数表示就是0.3的无穷
1/3和0.3的无穷它是一个数字的两种不同表现形式
0.9的无穷和1也是一个数字的不同表现形式
那假如说按你的说法0.9的无穷和1之间永远存在一个无穷小数。
但是这个数你是找不到的你一旦找到他就不是无穷小。
所以他才有这个微分和积分的概念
这个大学知识我有点忘了。
你说他是完全相等吗不是的
但是在数学上他就可以定义为相等。
两根一米的棍子你说他们完全相等吗
数学上是完全相等
但是你如果真的量去的话他们不可能完全相等差一个分子一个原子，原子再往下分他们不可能完全相等的
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
哈哈，你这个悖论直接成功的将层主迷惑住了。
(1,2)真包含于(1,3)，不等同于（1,3）的数比（1,2）之间的多。
这就好比偶数真包含于整数，奇数真包含于整数，然后说偶数或者奇数比整数少一个道理。
有限数量才能比较大小，无限是没有具体个数的，因此不能比较大小。
lixianghui的意思是按照映射法则f，每一个x都对应一个y，如果这个函数图像是单调的话，则x和y数量是相等的，当然这里面也有个不合理的地方，就是无穷多个之间是不能比较多少的。比如y=lnx，（或x=a^y），虽然x>0的范围，y是R，但是每一个x和y都是一一对应的。
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
: 讲到集合，(1,2)真包含于(1,3)。高中阶段，从理论上证明了区间（1,3）之间的数比区间（1,2）之间多。
要让中小学生容易理解，或者说愿意相信
不就该用中小学生的证明方法么
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 关于三分之一等于0.3的循环，这个是小学生的证明方法，很不严谨，这就跟鸡生蛋蛋生鸡自证一样，首先得先证明1/3就等于0.3的循环，这比证明0.9的循环等于1都难。
还是数学教育缺失了对数学文化的介绍的锅
高数课本是先极限后微分，这是合逻辑的，但却与历史相反，看起来就有点反直觉的意思
所以学到研究生也没弄明白很正常
再说了，牛逼如牛逼顿老爵爷当年对无穷小量也犯迷糊
现在的研究生纵然有天眼，不去细想当然就不会
【 在 zts 的大作中提到: 】
: 这个就是数学思维难点，鸡兔同笼二元一次方程这种小孩大了就自然会了。这个极限微积分的数学思维大多人大学研究生都不会。所以鸡兔同笼这种小奥题目没有什么价值，再也不会出现在考试选拔上面，而这个就是数学学习的坎之一。比如我小孩三年级也搞不定鸡兔同笼，但是他那时能
: 斫0.999无穷等于1，理解芝诺乌龟悖论，很快就会理解微分积分概念了。
如果每位相等是充分但非必要条件
那就应该至少存在1个反例
也就是两个数并非每位相等，但化为分数后相等
有这种反例么？
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 我小学有个好数学老师，专门去图书馆找书给我讲明白了。
: 判断两个（小）数是否相等，每位相等是充分条件，不是必要条件。必要条件（也是充要条件）是化为分数后相等。
: 不需要极限什么的，用到大学一点问题都没有。
: 你和老师的分歧可能是他说对了，但你不接受这种数学界通行的理念，非要自己来一套无用的理论。
推荐一本书《认识无穷的八堂课》
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
小孩英文好马，英语好直接看 beyond infinity， 不好看中译本，这本书完美回到你的问题
原因可能是一些人把0.9的循环当成动画
是一个不断写9的过程
实际上这是一个静态的数，就是1的换皮表达
【 在 flowkiss 的大作中提到: 】
: 我觉得0.9的循环和1从概念上讲不一样，但是从数值上来讲由于差别是无穷小，所以在应用上没有任何问题。
: 但是硬说是相等，我觉得不严格，1/3和0.3333....在概念上也不同
小学确实没学无理数，中学大学如果遇到实数比大小，一般用缩放法吧，没见过一位一位去硬比的。
前两天b站看了个证明π的立方大于31的证明，就很“优雅”
【 在 Hakintosh 的大作中提到: 】
:你这个理论只适合有理数？无理数怎么办:
3.1415的三次方已经大于31了。。。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 小学确实没学无理数，中学大学如果遇到实数比大小，一般用缩放法吧，没见过一位一位去硬比的。
: 前两天b站看了个证明π的立方大于31的证明，就很“优雅”
: :你这个理论只适合有理数？无理数怎么办:
是啊
lim0.3333....n个3=1/3
n趋于无穷
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 那0.3333333...是不是也是一种极限的表示方式啊？
你不会认为这个式子的结果是无穷大吧
【 在 maxspirit 的大作中提到: 】
: 1/（1-0.9999……）
: 怎么理解
你这一点都不优雅。。。
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
:3.1415的三次方已经大于31了。。。
本楼就在讨论这个问题啊，最经典的例子
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
:如果每位相等是充分但非必要条件:那就应该至少存在1个反例:也就是两个数并非每位相等，但化为分数后相等:有这种反例么？
无穷本来就是一个难描述的概念，这个循环里的无穷位数给描述带来了不确定或者不清楚的因素，你说的换皮也只能是在应用上来说没问题。
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
: 原因可能是一些人把0.9的循环当成动画
: 是一个不断写9的过程
: 实际上这是一个静态的数，就是1的换皮表达
0.000（无限个0）1等于0吗？
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 无穷和极限是两个概念，我们经常把无穷和极限联系在一起，但是在讲的时候这两个概念要分开阐述，否则就会让听的人一脑浆糊。无穷是一个趋势，极限是一个精确值。具体的定义可以参考高数中的定义，这样听的人会比较清晰。
嗯，把它当成一个动画或者过程，这个是一个重要原因。在小学和初中，都尽量避开无限个9中无限的概念，这样就很难搞清楚0.9中无限个9代表的具体是什么东西，而且现实中也不存在这个写不完的小数。 即使认为它是一个数，在有限的范围内，它也不等于1。
无限多这个事儿并不简单。
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
: 原因可能是一些人把0.9的循环当成动画
: 是一个不断写9的过程
: 实际上这是一个静态的数，就是1的换皮表达
你这命题本身就是错的，这中间加不了无限个0.
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 0.000（无限个0）1等于0吗？
书的全称是什么？谢谢
【 在 junvi 的大作中提到: 】
: 小孩英文好马，英语好直接看 beyond infinity， 不好看中译本，这本书完美回到你的问题
优雅的无非两种，一种是几何，一种是级数展开。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 你这一点都不优雅。。。
: :3.1415的三次方已经大于31了。。。
为什么加不了无限个0？可以一直加0找下去，肯定是无限的啊
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 你这命题本身就是错的，这中间加不了无限个0.
等于
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 0.000（无限个0）1等于0吗？
那就可以推导出0.9999（无限循环）=1
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
: 等于
到时候自然会明白
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
是啊
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 那就可以推导出0.9999（无限循环）=1
先讲极限这个概念，理解无穷就简单了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
那是因为极限比0.9的循环更难理解
舍近求远了
【 在 seimen 的大作中提到: 】
: 先讲极限这个概念，理解无穷就简单了
就叫beyond infinity 中文好像是超越无穷大，最好看原版的
【 在 pingpong 的大作中提到: 】
: 书的全称是什么？谢谢
你把有限和无限搞混了。
既然0.0，0是无穷多个，那就说明0是无穷无尽的（可以直接写成0的循环），它后面不可能有其他数字将它阻止，否则就不是0的循环了。
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 为什么加不了无限个0？可以一直加0找下去，肯定是无限的啊
0 <= 1 - 0.999无限 < 任意一个正数
所以它们想等，我觉得挺好理解的吧
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
: 那是因为极限比0.9的循环更难理解
: 舍近求远了
1/3=0.3333…… x 3 = 0.9999……
这个理解比较高端了，是高数极限的认知模式
但只要是个小学生就相信 1/3=0.3333..
【 在 seimen 的大作中提到: 】
: 0 <= 1 - 0.999无限 < 任意一个正数
: 所以它们想等，我觉得挺好理解的吧
无穷，要跟收敛，极限这样的概念同步介绍。
这些都无关紧要，将来随着大脑和神经发育成熟，逻辑上的逐步成型，自然会理解的。
【 在 seimen 的大作中提到: 】
: 先讲极限这个概念，理解无穷就简单了
我做小学生的时候，是不相信这个的，现在也不相信。这可怎么办呢？
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
这个理解比较高端了，是高数极限的认知模式
但只要是个小学生就相信 1/3=0.3333..
【 在 seimen 的大作中提到: 】
: 0 <= 1 - 0.999无限 < 任意一个正数
: 所以它们想等，我觉得挺好理解的吧
谁说无限个0后面有了1就将它阻止了？
那你解释解释啥叫“无限不循环小数”？
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 你把有限和无限搞混了。
: 既然0.0，0是无穷多个，那就说明0是无穷无尽的（可以直接写成0的循环），它后面不可能有其他数字将它阻止，否则就不是0的循环了。
就是定义啊，把定义说明白就行了，加减乘除的规则也不适用于无穷
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。记得我小学六年级，有一道0.999999( ...
你这是混为一谈，无限不循环，小数后面任何一个确定的数字，它前面必然是有限个数字，而不是无限个数字。
这跟你所谓的无限个后面就是两码事。
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 谁说无限个0后面有了1就将它阻止了？
: 那你解释解释啥叫“无限不循环小数”？
确实不简单。到了极限这一步，一部分人可以告别数学了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，把它当成一个动画或者过程，这个是一个重要原因。在小学和初中，都尽量避开无限个9中无限的概念，这样就很难搞清楚0.9中无限个9代表的具体是什么东西，而且现实中也不存在这个写不完的小数。 即使认为它是一个数，在有限的范围内，它也不等于1。
: 无限多这个事儿并不简单。
从射影几何讲起
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
大概，1-2 和 1-3 之间的数一样多。
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
: 1～2之间无穷个数，1～3之间也是无穷个数，怎么解释1～2之间的数比1～3之间的数少？
不不不，这里恰好是第三种。
我尝试贴个图。
一个“优雅”的等式。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 优雅的无非两种，一种是几何，一种是级数展开。
无穷不是不存在，是时时、处处存在啊
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
是不是对优雅有什么误解？
搞这么花里胡哨，一点都不优雅，有简单的方法不用，偏偏搞一个巨复杂的。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 不不不，这里恰好是第三种。
: 我尝试贴个图。
: 一个“优雅”的等式。
不懂就再等等
人之所以分成初中数学和大学数学
就是因为这里面是有层次的
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
无穷小等于0，理解这个先要
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
0.999...其实不需要极限概念
极限概念主要是为了应付dx在分母上搞出来的
【 在 masterlv 的大作中提到: 】
: 无穷，要跟收敛，极限这样的概念同步介绍。
: 这些都无关紧要，将来随着大脑和神经发育成熟，逻辑上的逐步成型，自然会理解的。
1/3 = 0.3333333....这个事
实际就是直接定义的概念，只不过小学讲了
把0.9999999... = 1 也定为概念就行了。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
: 比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
我感觉应该从相等的概念入手。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
这还是以有限的思维来考虑无限
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
: 不少吗？少了了2~3之间那无穷个的数
其实你所谓的简单，比如pi=3.1415。。。。可一点都不简单，而这个定积分抽丝剥茧，过程可能更佳“优雅简单”。
既然这是个等式，就必然有它在数学域上的道理，而非巧合。
【 在 FangLiu0 的大作中提到: 】
: 是不是对优雅有什么误解？
: 搞这么花里胡哨，一点都不优雅，有简单的方法不用，偏偏搞一个巨复杂的。
0.9999……等不等于1要看定义。
如果从初等数学的静态定义上看，0.999……是不会等于1。
但在高等数学眼里，0.999……在极限情况下，可以认为动态定于1。
想象成一个是静态下不等于1 ，一个是动态等于1。
这么理解可能容易些。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。
: 确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
: 对于极限问题，问题出在等号的定义上
数学是要借助工具的，已经有 3.1415，为啥不用？
那是不是还得把积分过程重新说明一遍，那不更不优雅了吗？
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 其实你所谓的简单，比如pi=3.1415。。。。可一点都不简单，而这个定积分抽丝剥茧，过程可能更佳“优雅简单”。
: 既然这是个等式，就必然有它在数学域上的道理，而非巧合。
说真的
不同分母的分数相加
已经有人学不会了
【 在 ingwt 的大作中提到: 】
确实不简单。到了极限这一步，一部分人可以告别数学了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，把它当成一个动画或者过程，这个是一个重要原因。在小学和初中，都尽量避开无限个9中无限的概念，这样就很难搞清楚0.9中无限个9代表的具体是什么东西，而且现实中也不存在这个写不完的小数。 即使认为它是一个数，在有限的范围内，它也不等于1。
: 无限多这个事儿并不简单。
赞！
【 在 maruko 的大作中提到: 】
不不不，这里恰好是第三种。
我尝试贴个图。
一个“优雅”的等式。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 优雅的无非两种，一种是几何，一种是级数展开。
3.1415^3=31.0035
这个更简单
【 在 FangLiu0 的大作中提到: 】
是不是对优雅有什么误解？
搞这么花里胡哨，一点都不优雅，有简单的方法不用，偏偏搞一个巨复杂的。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 不不不，这里恰好是第三种。
: 我尝试贴个图。
: 一个“优雅”的等式。
我可没说不能用。。。。只是提了下知其然知其所以然，3.1415。。。这个数，莱布尼兹技术就很简单朴实，有一种古拙的优雅，虽然可能要算2000项才能获得一位精度。天方夜谭般的拉马努金提出的公式之一，一项就能算出六位精度，有一种狂暴的优雅，他们都在数学史上留名了。
【 在 FangLiu0 的大作中提到: 】
: 数学是要借助工具的，已经有 3.1415，为啥不用？
: 那是不是还得把积分过程重新说明一遍，那不更不优雅了吗？
re
以为自己明白的
大多是井底之蛙
【 在 maruko 的大作中提到: 】
其实你所谓的简单，比如pi=3.1415。。。。可一点都不简单，而这个定积分抽丝剥茧，过程可能更佳“优雅简单”。
既然这是个等式，就必然有它在数学域上的道理，而非巧合。
【 在 FangLiu0 的大作中提到: 】
: 是不是对优雅有什么误解？
: 搞这么花里胡哨，一点都不优雅，有简单的方法不用，偏偏搞一个巨复杂的。
这个就根本不优雅，其次没必要证明大于 31，更根本的方法就是去计算精确值，有了精确值，何必去证明什么 3 次方。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 我可没说不能用。。。。只是提了下知其然知其所以然，3.1415。。。这个数，莱布尼兹技术就很简单朴实，有一种古拙的优雅，虽然可能要算2000项才能获得一位精度。天方夜谭般的拉马努金提出的公式之一，一项就能算出六位精度，有一种狂暴的优雅，他们都在数学史上留名了。
你这个解释就完全是错的。。。。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
: 比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
亚里士多德的三段论，建立了公理体系；欧几里得根据这个公理体系，作为这个理论的一个实践，接着的非欧几何进一步验证了这个体系；希尔伯特，总结了公理体系中公理/假设的三个特点。
二十世纪初，有一个哲学家写了一本书，叫做，我们当代科学纲领之批判，论证逻辑的起点是不可证明的。
所以，稍微对逻辑/科学史/哲学史有一点点了解的人，都不会轻易说0.999999(无穷个9)等于1，或者不等于1.这取决于你假设的起点：如果假设无穷小是不可比的（或等价假设），那么就是等于；如果假设可比，那么就是不等。
二十年前，在quora上有一个人是这么分析过这个问题了。我只是搬运，不负责任[em22]
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
晕，这个帖子充分反映“有一群人妄图拿着个别抽象的东西把初中生绕晕”
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
这个1是不存在的，因为9没有尽头，是无穷的。或者你可以这么解释：
假设1存在，那么9就会停下，与无穷矛盾
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
初一已经接触数轴了，整数、有理数、无理数个数可以入手。
另外，0.99999999=1 的问题看李永乐，了解下戴德金分割。
实数致密性定理不是正常初中生能理解和推理的
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 标 题: Re: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
: 发信站: 水木社区 (Sun Mar 31 14:55:42 2024), 站内
: 不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之
: 洌俣ㄕ飧鍪质莂，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
: 【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: : 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: : 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: : 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
: ※ 来源:·https://exp.mysmth.net·[FROM: 223.104.42.*]
无穷讲不透的，无穷之间还能比"大小"呢， 咋讲，就按极限的思路去说吧
【 在 wfunny (wfunny) 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
那实数致密性原理的证明过程有没有循环论证呢？
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
我甚至连你讲的这个解释都理解不了。。。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之间，假定这个数字是a，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
一生二，二生万物……
还不懂，就把中医搬出来：先有中医后有天，然后生万物…………
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 标 题: 怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
: 发信站: 水木社区 (Sun Mar 31 09:41:41 2024), 站内
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
: ※ 来源:·https://exp.mysmth.net·[FROM: 111.197.238.*]
可以讲讲芝诺悖论
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
这个很容易讲的啊，就是存不存在一一对应的问题
我从小就知道整数和偶数一样多
【 在 l1978 的大作中提到: 】
: 无穷讲不透的，无穷之间还能比"大小"呢， 咋讲，就按极限的思路去说吧
告诉娃，喜欢什么随便买，爸爸兜里的钱是∞ ：）
你就上B站搜视频就完了，你的水平不适合自己讲
抖音上刷到过专业人事讲这个
【 在 wfunny (wfunny) 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
Re这个吧。。。
不如不回答，不讲解
【 在 wuya5 的大作中提到: 】
: 晕，这个帖子充分反映“有一群人妄图拿着个别抽象的东西把初中生绕晕”
都说了不是要去证明，而是要便于理解
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
: 【 在 drifter777 的大作中提到: 】
反正我的看法是，0.99999....根本就不是一个数。有无穷大这个概念，但你说这个数，它有无穷多的小数位，且是9，或者6，其实不是一个符合定义的数。0.6上面加个点表示无限循环小数不过是分数在初等数学的一个展现形式，本来就是权宜之计，并非严格的表达形式
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
看了李永乐戴德金分割，似乎以前学过该知识，不知道什么时候学过。但证明过程不像是初中生能理解的。
我查了一下ai
"戴德金分割的概念通常出现在高等数学或者大学数学分析的课程中，特别是实变函数论和微积分学科。它并不是中学数学课程的标准内容。因此，如果要学习戴德金分割，一般需要达到大学数学的水平。"
【 在 hany2017 的大作中提到: 】
: 初一已经接触数轴了，整数、有理数、无理数个数可以入手。
: 另外，0.99999999=1的问题看李永乐，了解下戴德金分割。
“而1/1何尝不能用除法不停地上9余1呢”你确定这是正常的数学思维？
你看什么数学运算和论证时，会采用这种扯淡的思路？
“你怎么知道0.3的循环和1/3之间不存在其他数呢”，如果都按照你这种思维方式，任何一种证明1=0.9循环的方法，我都能找到反驳的理由。甚至更扯淡的事情都能按你这思路去反驳，比如1=1，你凭什么说1和1之间没有任何其他数字？比如 2=1+1，你凭什么说2就等于1+1，凭什么1+1不能等于其他数？
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 估计你是没仔细看我回帖，或者就没理解我回帖的内涵。
: 大白话就是说：你不能用同一种现象说明这个现象的原理。
: 你得到1/3=0.3的循环无非就是用除法不停地余1，而1/1何尝不能用除法不停地上9余1呢，说了这是不严谨的，你的除法只能列到有限个，后面无限个是大脑想象应该是这样下去的，你怎么知道0.3的循环和1/3之间不存在其他数呢，但是这个想象需要证明成立的，这下一步的证明才是原理，这需要严谨的证明。
1/3=0.3333循环，是很容易理解的事情，所以对于小学生来说不需要证明。
1=0.9999循环，是一个不容易理解的事情（我是初二的时候，才被同学教会的），所以对于小学生来说如果可以证明，为什么要用定义呢？难道让小学生多一些思考，多学一些方法不好吗？
【 在 FlashDog 的大作中提到: 】
: 1/3 = 0.3333333....这个事
: 实际就是直接定义的概念，只不过小学讲了
: 把0.9999999... = 1 也定为概念就行了。
你这个评论就完全是错误的。。。。
【 在 Contador 的大作中提到: 】
: 你这个解释就完全是错的。。。。
那挺厉害了啊。这里是中学版，您初二就理解了。不用非得让小学生也理解吧。
可怜的是我这种，大学毕业好多年了，还无法理解的人。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
1/3=0.3333循环，是很容易理解的事情，所以对于小学生来说不需要证明。
1=0.9999循环，是一个不容易理解的事情（我是初二的时候，才被同学教会的），所以对于小学生来说如果可以证明，为什么要用定义呢？难道让小学生多一些思考，多学一些方法不好吗？
【 在 FlashDog 的大作中提到: 】
: 1/3 = 0.3333333....这个事
: 实际就是直接定义的概念，只不过小学讲了
: 把0.9999999... = 1 也定为概念就行了。
这个也没啥可怜的吧 @@
连考试都不考的东西，现实生活中更用不到，只是一种认知和思维方式。。。。
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 那挺厉害了啊。这里是中学版，您初二就理解了。不用非得让小学生也理解吧。
: 可怜的是我这种，大学毕业好多年了，还无法理解的人。
20年前的水木 估计有十分之一的人懂无穷大
经过了20年的低智化，如今的水木 能有万分之一懂就不错了
我自己发过数学一区论文，都不敢说真的搞懂无穷大了
回帖的大多数都是吹牛逼的
现在问这种问题最好去b站，水木早已不是当年了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
0.99（无穷循环）8。。。。。。
典型的不懂什么是无穷的典型。。。。。
居然能问出这种问题
【 在 funme 的大作中提到: 】
: 在实数范围内这么讲，如果是整数范围却又明显不成立，是不是有点小矛盾， 8 和9 之间插入不了任何整数，那么按照整数的理解 8 和9相等。
: 我只是好奇大家这么讨论是不是默认虚数。
: 另外可不可以定义0.99（无穷循环）8 ，也即0.99*8 这样一个数
0.3的循环的极限是1/3，0.9的循环的极限是1，你用0.3的循环的极限x3去解释0.9的循环的极限，是不是略显草率了？这不是相当于用自己证明自己吗？
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
: 比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
缺少好老师
我高中就大概明白Hene-Borel定理了
要做到深刻明白，恐怕这辈子也未必，地球上没多少人真的很懂这个定理的，
尤其是在一般拓扑上的推广形式
【 在 lalula 的大作中提到: 】
: 实数致密性定理不是正常初中生能理解和推理的
能理解1/3=0.3333的话，为什么不能理解1/1=0.9999呢？这不都是一回事吗？都是小学二年级的除法除不尽啊，无非就是1/1可以更直观的写成=1。但如果我第一次做除法运算的时候强行等于0，后面自然就写成9的循环了呀。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 1/3=0.3333循环，是很容易理解的事情，所以对于小学生来说不需要证明。
: 1=0.9999循环，是一个不容易理解的事情（我是初二的时候，才被同学教会的），所以对于小学生来说如果可以证明，为什么要用定义呢？难道让小学生多一些思考，多学一些方法不好吗？
实数是公理化定义的，不需要论证
只不过有7种等价的定理来说明这一点
【 在 oahgnid 的大作中提到: 】
: 那实数致密性原理的证明过程有没有循环论证呢？
你举得这个例子是极限，不是无穷
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
0.3的循环不存在极限，它就是一个数字，不是一个函数，而且可以通过简单计算1/3的出来。
同样0.9的循环就是一个数字，而且表象上看不出来它跟1的关系，正常数学里，1/1也不是等于0.9的循环，所以可以用0.3的循环来证明。
【 在 TBack 的大作中提到: 】
: 0.3的循环的极限是1/3，0.9的循环的极限是1，你用0.3的循环的极限x3去解释0.9的循环的极限，是不是略显草率了？这不是相当于用自己证明自己吗？
我小学就能理解1/3=0.3的循环，学会分数的时候就理解这两个相等。但是我直到初中才理解1=0.9的循环，还是被同学教会通过计算证明的，你说是为什么？
不要把很复杂的事情当成理所当然。
你为什么不去质疑牛顿为什么不懂相对论呢？
【 在 TBack 的大作中提到: 】
: 能理解1/3=0.3333的话，为什么不能理解1/1=0.9999呢？这不都是一回事吗？都是小学二年级的除法除不尽啊，无非就是1/1可以更直观的写成=1。但如果我第一次做除法运算的时候强行等于0，后面自然就写成9的循环了呀。
你学习一下数学分析，或者找个数学好的人给你小孩讲讲。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
这个东西就没人能说清楚吧？自然语言就不是用来说明这个的。人的大脑应该也是无法想象的
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。记得我小学六年级，有一道0.999999( ...
有理
【 在 masterlv 的大作中提到: 】
: 无穷，要跟收敛，极限这样的概念同步介绍。
: 这些都无关紧要，将来随着大脑和神经发育成熟，逻辑上的逐步成型，自然会理解的。
b站能有万分之一的懂吗？
【 在 convolution 的大作中提到: 】
20年前的水木 估计有十分之一的人懂无穷大
经过了20年的低智化，如今的水木 能有万分之一懂就不错了
我自己发过数学一区论文，都不敢说真的搞懂无穷大了
回帖的大多数都是吹牛逼的
现在问这种问题最好去b站，水木早已不是当年了
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
数学真的很神奇
看了网友推荐的戴德金分割，可以明白实数的定义，而由实数的定义推导了0.9循环是等于1的。在实数的概念里，0.9循环和1表达的是同一个东西。 这就好比，我们先定义了钢笔，再拿出2只钢笔，说这两个一样的钢笔，在写字这种范围内，可以互做等价替换(虽然它们的其它未知特征可能不同)。
又说1/3=0.333循环，这个显然是算术经验或者经验结果。使用戴德金分割的实数定义，确实可以证明该经验结果在实数范围内是成立的。但用该经验结果去证明1＝0.999循环，确实会有鸡生蛋，蛋生鸡的问题。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 看了李永乐戴德金分割，似乎以前学过该知识，不知道什么时候学过。但证明过程不像是初中生能理解的。
: 我查了一下ai
: "戴德金分割的概念通常出现在高等数学或者大学数学分析的课程中，特别是实变函数论和微积分学...
想想子弹瞄准，虽然子弹还没有到，但是跟击中靶心相同
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
莫比乌斯环，用个小纸条做个。听说无穷符号?就是从这个演变来的。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
他们之间并不是无限接近，而是就是相等
主要靠天分听明白，不是靠天分讲明白。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
无穷有啥难理解的。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
量变引起质变
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
理解0.999999...(无穷个9)和1相等这个概念确实对很多人来说都是个挑战，尤其是对孩子们。但是，有一些方法可以帮助解释无穷概念和0.999...与1相等的理由，让它们更容易被理解。首先，关于0.999...和1相等的解释，一个常用的方法是使用简单的数学推导来说明：假设x = 0.999...那么10x = 9.999...接下来，从第二个等式中减去第一个等式，我们得到：10x - x = 9.999... - 0.999...这样就得到了9x = 9由此可以解出x = 1这样的推导展示了0.999...实际上和1是相同的。为了解释无穷的概念，你可以尝试将其与孩子们已经熟悉的东西联系起来。比如，你可以使用“无限接近”这样的表述。你可以告诉他们，虽然无穷大或无穷小的概念在我们的现实生活中并不存在，但是我们可以通过无限接近的方式来想象它。例如，0.999...是无限接近于1的，但它们用数学的方式表达来说是相同的。这样可以帮助孩子们理解，虽然在直观上它们似乎不相等，但在数学逻辑上它们是相等的。此外，用生活中的比喻也是解释抽象概念的好方法。例如，你可以用跑道上跑步的比喻：如果你每次都跑剩下距离的一半，那么理论上你永远到达不了终点，因为总有一半距离要跑。但在数学上，这个距离最终会无限接近于0，即
实际上你可以达到终点。这个比喻可以帮助孩子理解无穷序列趋向于一个确定值的概念。最重要的是，鼓励孩子提问并对他们的好奇心表示支持，即使某些问题的答案可能很复杂。理解和接受无穷概念需要时间和耐心，用孩子们能够理解的语言和比喻来解释会更加有效。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考
你这不废话么？ 就是不确定才问
【 在 convolution 的大作中提到: 】
: 0.99（无穷循环）8。。。。。。
: 典型的不懂什么是无穷的典型。。。。。
: 居然能问出这种问题
首先要重新定义什么是相等
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。记得我小学六年级，有一道0.999999( ...
这个，中学课本上是怎样定义的啊？
【 在 bjyjyd 的大作中提到: 】
首先要重新定义什么是相等
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。记得我小学六年级，有一道0.999999( ...
引入大学ε-相等定义，相等就可以理解了
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 这个，中学课本上是怎样定义的啊？
: 首先要重新定义什么是相等
水木用户几万，万分之一，也就是个位数的人能懂，
当然我没有真的发现一个，所以万分之一已经是高估了
b站用户上亿，懂这个的人 我知道还是有十来个挺懂的，
懂这个起码得是世界牛校的数学系phd起步
我从来没有说过 b站能有万分之一的人懂
但是我学习的榜样 b站还是有一些的，今天的水木已经不存在了
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: b站能有万分之一的懂吗？
: 20年前的水木 估计有十分之一的人懂无穷大
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【 在 funme 的大作中提到: 】
: 你这不废话么？ 就是不确定才问
中学 就是拿相等作为相等，中学不涉及正式的极限和无穷的概念，相等很好理解，就是语文的字面意思。
分析学中是拿不等式 来定义相等的
或者是 epsilon语言定义的，
或者是 大于等于 和 小于等于同时成立 定义为相等
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 这个，中学课本上是怎样定义的啊？
: 首先要重新定义什么是相等
正解！
【 在 convolution 的大作中提到: 】
: 中学 就是拿相等作为相等，中学不涉及正式的极限和无穷的概念，相等很好理解，就是语文的字面意思。
: 分析学中是拿不等式 来定义相等的
: 或者是 epsilon语言定义的，
嗯，对头！首先就是要讨论“序”的概念，有理数的序，实数的序...
【 在 convolution 的大作中提到: 】
: 中学 就是拿相等作为相等，中学不涉及正式的极限和无穷的概念，相等很好理解，就是语文的字面意思。
: 分析学中是拿不等式 来定义相等的
: 或者是 epsilon语言定义的，
你把话说一半，真坏，哼
【 在 bjyjyd 的大作中提到: 】
: 首先要重新定义什么是相等
看《微积分学教程》菲赫金戈尔茨P10-11 用无线小数表达实数 小节
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
到高中就明白了，这两个数其实不相等，类似开区间和半开区间，能说相等，就不得分
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们...
直接让他看正经大学数学怎么讲的。你不是老师别费劲教这个，承认自己讲不好就行。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
: 记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
: 无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
多谢解答，本身本着吃瓜没细研究不确定，又看到很多人用0.000（无限）1举例论证，所以提问此文
【 在 convolution 的大作中提到: 】
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